听觉的数学奇迹
当我们聆听一首交响乐时，耳朵实际上在进行着精密的数学计算。长笛的高音颤音、小提琴的中音旋律、低音提琴的低沉嗡鸣——所有这些不同频率的声波在空气中交织。当这些复杂的声波进入耳蜗时，不同长度的纤毛会与不同音调产生共振，将混乱的信号分解为基本声音的集合。
人类花了数万年才进化出这种能力，而数学家们直到19世纪才掌握了同样的计算方法。
傅里叶的革命性发现
1800年代初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶发现了一种方法，可以将任何函数分解为一组基本波或频率。将这些组成频率重新相加，就能得到原始函数。这种被称为傅里叶变换的技术，让这位曾经热情支持法国大革命的人，也引发了一场数学革命。
从傅里叶变换中诞生了整个数学领域——调和分析，它研究函数的组成部分。很快，数学家们发现了调和分析与数学和物理学其他领域之间的深刻联系，从数论到微分方程，再到量子力学。
纽约大学和Flatiron研究所的Leslie Greengard说：“很难高估傅里叶分析在数学中的影响力。它触及数学、物理、化学和几乎所有其他领域的几乎每个领域。”
从热传导到数学突破
傅里叶的发现源于对热传导的研究。如果你加热金属棒的一端，热量会扩散直到整根棒达到相同温度。傅里叶认为，热量在棒中的分布可以写成简单波的总和。随着金属冷却，这些波会失去能量，导致它们平滑并最终消失。振荡更快的波（意味着能量更高）首先衰减，然后是较低频率的波。
这个提议在当时是激进的。当傅里叶在1807年的巴黎研究所会议上展示这一理论时，著名数学家约瑟夫-路易·拉格朗日据称宣布这项工作是“不可能的”。
傅里叶变换的工作原理
执行傅里叶变换就像嗅一种香水并区分其成分列表，或者听到复杂的爵士和弦并区分其组成音符。
数学上，傅里叶变换是一个函数。它以给定的函数（可能看起来很复杂）作为输入，然后产生一组频率作为输出。如果你写下具有这些频率的简单正弦和余弦波，然后将它们相加，就会得到原始函数。
傅里叶变换通过本质上扫描所有可能的频率并确定每个频率对原始函数的贡献程度来实现这一点。它通过将波相乘来做到这一点：将原始函数乘以特定频率的正弦波，然后观察结果的平均值。如果平均值很大，说明该频率对原始函数有贡献；如果平均值接近零，说明该频率不存在。
现代应用无处不在
傅里叶变换在更高维度的对象（如图像）上也有效。你可以将灰度图像视为一个二维函数，告诉你每个像素的亮度。傅里叶变换将这个函数分解为一组2D频率。由这些频率定义的正弦和余弦波形成不同方向的条纹图案。
任何8×8图像都可以由下面64个构建块的某种组合构建而成。压缩算法然后可以移除高频信息（对应于小细节），而不会显著改变图像在人眼中的外观。这就是JPEG如何将复杂图像压缩成更小数据量的方式。
在1960年代，数学家James Cooley和John Tukey提出了一种可以更快执行傅里叶变换的算法——恰当地称为快速傅里叶变换（FFT）。从那时起，只要有信号需要处理，傅里叶变换就被实际实现。“它现在已成为日常生活的一部分，”Greengard说。
量子力学的基础
在量子力学——极小尺度的物理学中，傅里叶变换甚至为不确定性原理提供了数学基础，该原理说不可能同时知道粒子的精确位置和动量。你可以写下描述粒子可能位置的函数；该函数的傅里叶变换将描述粒子的可能动量。
当你的函数可以告诉你粒子将以高概率位于何处时（由函数图形中的尖锐峰值表示），傅里叶变换将非常分散。将无法确定粒子的动量应该是多少。反之亦然。
数学研究的深远影响
傅里叶变换也在纯数学研究中扎根。调和分析——研究傅里叶变换以及如何反转它以重建原始函数——是研究波的强大框架。数学家们还发现调和分析与数论有着深刻而意想不到的联系。他们利用这些联系探索整数之间的关系，包括素数分布这一数学中最大的谜团之一。
普林斯顿大学数学家Charles Fefferman说：“如果人们不知道傅里叶变换，我不知道数学的百分之多少会消失。但这将是一个很大的百分比。”
结语
从热传导研究到现代数字信号处理，从图像压缩到量子力学基础，傅里叶变换展现了数学工具如何能够跨越学科界限，成为连接不同科学领域的桥梁。即使在人工智能和机器学习蓬勃发展的今天，傅里叶变换仍然是频谱分析、特征提取和时间序列分析的核心工具。
这场始于19世纪初的数学革命，至今仍在塑造着我们理解世界和处理信息的方式。傅里叶变换不仅是数学史上的里程碑，更是现代科学技术不可或缺的基础工具。