在深度学习模型尤其是 Transformer 架构中，线性变换层（如前馈网络 FFN 和注意力机制）占据了大部分计算和内存资源。传统密集矩阵的矩阵-向量乘法复杂度为 O(n²)，对于大规模模型训练而言，这已成为瓶颈。Monarch 矩阵作为一种新型结构化矩阵，提供了一种高效的低秩近似方案，能够将计算复杂度降至 O(n log n)，从而显著优化内存和计算开销，同时保持模型准确性。本文将聚焦于如何在 PyTorch 框架中集成 Monarch 矩阵，实现 Transformer 的结构化低秩近似，并给出可落地的工程参数和实现清单。
Monarch 矩阵的核心思想源于 Butterfly 矩阵的改进，它将密集权重矩阵参数化为多个块对角矩阵（Block Diagonal）和置换矩阵（Permutation Matrix）的乘积。具体形式为 M = P₂ ⋅ B₂ ⋅ P₁ ⋅ B₁，其中 B₁ 和 B₂ 是块对角矩阵，P₁ 和 P₂ 是置换矩阵。这种结构允许并行计算块级矩阵乘法，利用 GPU 优化的 GEMM（General Matrix Multiply）内核，避免了稀疏矩阵的硬件利用率低下问题。相比传统低秩近似（如 LoRA），Monarch 矩阵的表达能力更强，能够逼近任意结构化变换，而非仅限于低秩子空间。
证据显示，这种近似在 Transformer 模型中效果显著。在 ICML 2022 的相关研究中，研究者将 Monarch 矩阵替换 ViT 和 GPT-2 中的密集线性层，端到端训练速度提升约 2 倍，内存占用减少 50%，而在 GLUE 和 ImageNet 等基准上准确性损失小于 0.5%。例如，在 BERT 微调任务中，使用 dense-to-sparse 策略（将预训练密集矩阵投影至 Monarch 矩阵）后，训练时间缩短 1.7 倍，无需额外调整学习率。另一个实验表明，在 sparse-to-dense 训练中，先用 Monarch 矩阵预热模型，再恢复为密集矩阵，可将 GPT-2 整体训练时间减半，同时提升 emergent ability，因为早期稀疏训练加速了收敛。
在 PyTorch 中集成 Monarch 矩阵的关键在于自定义 nn.Module。首先，需要实现块对角矩阵的构建和置换操作。块大小（block_size）是核心超参数，通常设为 16 或 32，以平衡表达力和硬件效率。对于 n=1024 的隐藏维度，log n ≈ 10，因此 Monarch 矩阵参数量约为 2n log n ≈ 20k，远低于密集矩阵的 1M。计算实现可利用 torch.block_diag 和 torch.einsum 进行高效乘法。
一个典型的 Monarch 层实现如下（伪代码）：
import torch
import torch.nn as nn
from torch.nn.utils.parametrize import register_parametrization
class MonarchLinear(nn.Module):
def init(self, in_features, out_features, block_size=16):
super().init()
self.in_features = in_features
self.out_features = out_features
self.block_size = block_size
num_blocks = in_features // block_size
self.B1 = nn.Parameter(torch.randn(num_blocks, block_size, block_size))
self.P1 = self._generate_permutation(num_blocks, block_size)
self.B2 = nn.Parameter(torch.randn(num_blocks, block_size, block_size))
self.P2 = self._generate_permutation(num_blocks, block_size)
def _generate_permutation(self, num_blocks, block_size):
# 生成置换矩阵，交错块元素
perm = torch.zeros(num_blocks * block_size, num_blocks * block_size)
for i in range(num_blocks):
for j in range(block_size):
perm[i * block_size + j, i * block_size + j] = 1 # 简化，实际需交错
return perm
def forward(self, x):
# x: (batch, seq, in_features)
# 先 B1
x = self._block_matmul(x, self.B1)
# 置换 P1
x = torch.matmul(x, self.P1)
# B2
x = self._block_matmul(x, self.B2)
# P2
x = torch.matmul(x, self.P2)
return x
def _block_matmul(self, x, B):
# 块级矩阵乘法，利用 torch.bmm
batch = x.size(0) * x.size(1)
x_flat = x.view(batch, -1)
# 重塑为块
blocks = x_flat.view(batch, -1, self.block_size, self.block_size).mean(dim=-1) # 简化
out = torch.bmm(blocks.view(-1, self.block_size, self.block_size), B.view(-1, self.block_size, self.block_size))
return out.view(batch, self.in_features)
为了集成到 Transformer，可替换 nn.Linear 为 MonarchLinear。例如，在 Hugging Face 的 TransformerEncoderLayer 中，ffn 的线性层直接替换。初始化时，对于预训练模型，使用投影算法：求解 argmin_{L,R} ||W - P₂ B₂ P₁ B₁||_F，其中 W 是原密集权重。这可以通过闭式解或 SVD 近似实现，误差通常 <1e-3。
可落地参数建议：
- block_size: 16-64，根据硬件（A100 GPU 推荐 32），测试 FLOPs 与准确性。
- 学习率：初始 1e-4，与密集模型相同；若使用 sparse-to-dense，预热阶段 lr=5e-5。
- 批次大小：可增加 1.5-2x，因内存节省。
- 监控点：跟踪矩阵近似误差（||M_dense - M_monarch|| / ||M_dense|| < 0.01）、FLOPs（torch.profiler 测量，目标减半）、准确性（val loss 波动 <1%）。
- 回滚策略：若准确性下降 >2%，fallback 到 LoRA（rank=8），作为低秩备选。
实现清单：
- 安装 PyTorch 2.0+，导入 einops 用于重排列。
- 定义 MonarchLinear 类，支持 forward 和 projection 方法。
- 在 Transformer 模型中替换：model.layers[i].ffn.linear = MonarchLinear(d_model, d_ff)。
- 训练循环：使用 AdamW 优化器，warmup 1000 steps。
- 评估：比较 baseline 的 throughput（samples/sec）和 perplexity。
- 部署：TorchScript 导出，注意置换矩阵的固定性以加速推理。
通过以上集成，Monarch 矩阵不仅适用于 Transformer 的 FFN 层，还可扩展到注意力投影，整体优化大型语言模型训练。实际项目中，结合分布式训练（如 DDP），可进一步放大收益。
资料来源：ICML 2022 论文《Monarch: Expressive Structured Matrices for Efficient and Accurate Training》（Tri Dao et al.）；相关实现参考 Zhihu 和 arXiv 讨论。