Transformer架构在自然语言处理领域取得显著成就，但在基础算术任务中却暴露出根本性缺陷——多位数乘法准确率随位数增长急剧下降。OpenAI测试显示，即使最新推理模型o3-mini在13位以上乘法任务中准确率骤降至30%以下，而GPT-4o更在4位乘法时即出现严重错误。这种现象源于Transformer对数值运算的乘法学习间隙（multiplication learning gap），其本质是标准自回归训练无法有效捕捉长序列中的数值依赖关系。
问题根源：位置编码与数值表示的失配
Transformer的位置编码机制为序列元素提供顺序信息，但标准正弦/余弦编码在数值任务中存在两大缺陷：
- 线性偏移失效：当输入序列长度超过训练分布时（如9位→15位乘法），位置编码的周期性特征导致模型无法正确推断新位置关系
- 数值敏感性缺失：原始编码未考虑数值大小对计算路径的影响，例如987×654与123×456的运算逻辑应不同，但模型难以区分
解决方案需从数据表示层入手。François Charton在《Linear algebra with transformers》中验证，通过归一化数值范围（将输入缩放到[-1,1]区间）并改用可学习二维相对位置编码，模型在矩阵乘法任务中的准确率从68%提升至93%。关键参数配置如下：
- 数值归一化公式：
x_norm = 2*(x-min_val)/(max_val-min_val) - 1
- 位置编码维度：至少需为输入位数的1.5倍（如处理10位数需16维）
- 梯度裁剪阈值：设置为0.5防止大数乘法导致梯度爆炸
递归自我提升：突破长度泛化的工程实践
微软研究院Dimitris Papailiopoulos团队提出的递归自我提升（Recursive Self-Improvement）框架，通过迭代数据生成解决泛化问题。其核心在于利用Transformer的超越性（transcendence）现象——模型在n位乘法训练后，可自主生成n+1位的正确样本。但直接应用会导致错误累积，需配合以下工程控制：
| 控制维度 | 安全阈值 | 监控指标 |
|----------------|-------------------|-------------------------|
| 数据过滤强度 | 多数投票≥3次 | 错误样本剔除率<15% |
| 难度递增步长 | 每轮+1位 | 新位数准确率>85% |
| 模型回滚机制 | 连续2轮准确率↓5% | 历史最优模型版本保留 |
实际部署时需注意：当处理12位以上乘法时，应启用分段计算策略——将大数拆分为3-4位子块分别运算，最后通过位置偏移量拼接结果。实验表明，该方案在15位乘法任务中可将错误率从42%降至6.7%，同时减少73%的计算耗时。
落地验证与风险预警
在Hacker News社区验证案例中，采用上述方案的模型在31轮自我提升后，9位乘法准确率达99.2%。但需警惕两个隐藏风险：
- 数值溢出陷阱：当输入超过1e15时，浮点数精度会导致归一化失效，建议强制转换为字符串分段处理
- 调度失配问题：若难度递增速率超过模型学习能力（如单轮提升3位），错误累积将不可逆
监控清单建议：
- 实时追踪每轮新位数样本的准确率曲线
- 设置动态回滚阈值（当前轮准确率<前两轮均值80%时触发）
- 对10位以上输入自动启用分段计算模式
Transformer的乘法缺陷并非不可逾越，关键在于理解其数值表示局限并构建针对性的工程防护体系。如Papailiopoulos团队所言：「对于长度泛化问题，学习自我改进是一种通用且可扩展的解决方案」。通过位置编码改造与递归提升策略的结合，我们已能将模型乘法能力边界从传统4-5位拓展至15位以上，为数值密集型AI应用铺平道路。
参考资料：Papailiopoulos团队《Self-Improving Transformers Overcome Easy-to-Hard and Length Generalization Challenges》(2025)；François Charton《Linear algebra with transformers》(2022)