Transformer 架构在自然语言处理领域取得显著成就，但在基础算术任务中却暴露出根本性缺陷 —— 多位数乘法准确率随位数增长急剧下降。OpenAI 测试显示，即使最新推理模型 o3-mini 在 13 位以上乘法任务中准确率骤降至 30% 以下，而 GPT-4o 更在 4 位乘法时即出现严重错误。这种现象源于 Transformer 对数值运算的乘法学习间隙（multiplication learning gap），其本质是标准自回归训练无法有效捕捉长序列中的数值依赖关系。
问题根源：位置编码与数值表示的失配
Transformer 的位置编码机制为序列元素提供顺序信息，但标准正弦 / 余弦编码在数值任务中存在两大缺陷：
- 线性偏移失效：当输入序列长度超过训练分布时（如 9 位→15 位乘法），位置编码的周期性特征导致模型无法正确推断新位置关系
- 数值敏感性缺失：原始编码未考虑数值大小对计算路径的影响，例如 987×654 与 123×456 的运算逻辑应不同，但模型难以区分
解决方案需从数据表示层入手。François Charton 在《Linear algebra with transformers》中验证，通过归一化数值范围（将输入缩放到 [-1,1] 区间）并改用可学习二维相对位置编码，模型在矩阵乘法任务中的准确率从 68% 提升至 93%。关键参数配置如下：
- 数值归一化公式：
x_norm = 2*(x-min_val)/(max_val-min_val) - 1 - 位置编码维度：至少需为输入位数的 1.5 倍（如处理 10 位数需 16 维）
- 梯度裁剪阈值：设置为 0.5 防止大数乘法导致梯度爆炸
递归自我提升：突破长度泛化的工程实践
微软研究院 Dimitris Papailiopoulos 团队提出的递归自我提升（Recursive Self-Improvement）框架，通过迭代数据生成解决泛化问题。其核心在于利用 Transformer 的超越性（transcendence）现象 —— 模型在 n 位乘法训练后，可自主生成 n+1 位的正确样本。但直接应用会导致错误累积，需配合以下工程控制：
| 控制维度 | 安全阈值 | 监控指标 |
|----------------|-------------------|-------------------------|
| 数据过滤强度 | 多数投票≥3次 | 错误样本剔除率<15% |
| 难度递增步长 | 每轮+1位 | 新位数准确率>85% |
| 模型回滚机制 | 连续2轮准确率↓5% | 历史最优模型版本保留 |
实际部署时需注意：当处理 12 位以上乘法时，应启用分段计算策略—— 将大数拆分为 3-4 位子块分别运算，最后通过位置偏移量拼接结果。实验表明，该方案在 15 位乘法任务中可将错误率从 42% 降至 6.7%，同时减少 73% 的计算耗时。
落地验证与风险预警
在 Hacker News 社区验证案例中，采用上述方案的模型在 31 轮自我提升后，9 位乘法准确率达 99.2%。但需警惕两个隐藏风险：
- 数值溢出陷阱：当输入超过 1e15 时，浮点数精度会导致归一化失效，建议强制转换为字符串分段处理
- 调度失配问题：若难度递增速率超过模型学习能力（如单轮提升 3 位），错误累积将不可逆
监控清单建议：
- 实时追踪每轮新位数样本的准确率曲线
- 设置动态回滚阈值（当前轮准确率 < 前两轮均值 80% 时触发）
- 对 10 位以上输入自动启用分段计算模式
Transformer 的乘法缺陷并非不可逾越，关键在于理解其数值表示局限并构建针对性的工程防护体系。如 Papailiopoulos 团队所言：「对于长度泛化问题，学习自我改进是一种通用且可扩展的解决方案」。通过位置编码改造与递归提升策略的结合，我们已能将模型乘法能力边界从传统 4-5 位拓展至 15 位以上，为数值密集型 AI 应用铺平道路。
参考资料：Papailiopoulos 团队《Self-Improving Transformers Overcome Easy-to-Hard and Length Generalization Challenges》(2025)；François Charton《Linear algebra with transformers》(2022)