矩阵乘法（matmul）是 AI 系统计算的核心，占据训练和推理中 90% 以上的 FLOPs。在大型语言模型和视觉 Transformer 中，海量张量运算依赖高效 matmul 实现。传统朴素算法复杂度 O (n³)，而 Strassen 算法通过递归分块将复杂度降至 O (n^{log₂7} ≈ n^{2.807})，理论上在大规模矩阵中更优。但实际部署需权衡缓存局部性、向量化兼容性和数值稳定性。本文聚焦单一技术点：Strassen 的递归阻塞在 AI tensor ops 中的工程化应用，提供可落地参数和监控清单。
Strassen 算法核心：从 O (n³) 到 O (n^{2.807})
朴素矩阵乘法对 n×n 矩阵 C = A × B，使用三重循环计算每个 C [i][j] = Σ A [i][k] × B [k][j]。总计算量 2n³ FLOPs，常数因子小，易并行。
Strassen 算法（1969）创新性地用 7 次 递归子乘法 + 18 次加法替换 8 次乘法。将 n×n 矩阵（n 为 2 的幂）分块为 2×2 子块，每个子块 (n/2)×(n/2)：
令 A = [[A11, A12], [A21, A22]] 等，引入 7 个中间矩阵：
- M1 = (A11 + A22)(B11 + B22)
- M2 = (A21 + A22) B11
- M3 = A11 (B12 - B22)
- M4 = A22 (-B21 + B11)
- M5 = (A11 + A12) B22
- M6 = (-A21 + A11) (B11 + B12)
- M7 = (A12 - A22) (B21 + B22)
然后 C11 = M1 + M4 - M5 + M7 等。递归至基底（n=1 或小阈值）用朴素算法。复杂度满足 T (n) = 7 T (n/2) + Θ(n²)，解得 T (n) = Θ(n^{log₂7})。
证据：在 n=1024 时，Strassen FLOPs ≈ 0.84 × 朴素（忽略常数）。StackOverflow 实验显示，对于 n>10000，Strassen 加速 2-4x，但需大矩阵。
AI tensor ops（如 GEMM 在 cuBLAS）中，Strassen 适用于预处理大块（如 Transformer 的 QK^T，n=4096），但不直接替换标准 GEMM。
递归阻塞与缓存局部性 tradeoffs
Strassen 的递归分块天然支持阻塞（blocking），将矩阵切为适合 L1/L2 缓存的 tile（如 64×64）。朴素算法易列优先存储（column-major）导致缓存未命中（A 行访问 vs B 列）。
Strassen 优势：分块减少跨 tile 访问，提升局部性。参数：tile_size=64（L1 匹配 Intel/AMD 32KB），block_depth=log₂(n)/2。递归时，每层加法需临时缓冲，内存 ≈ 7×n²/4（FP32）。
Tradeoffs：
- 优势：大 n 时，阻塞复用率高，L2 命中率 >90%。
- 劣势：不规则加法（M1-M7）破坏 stride 访问，bank conflict 风险高；递归开销（函数调用 / 栈）在小 n 占 20% 时间。
落地清单：
- 阈值切换：n<128 用朴素（向量化友好），n≥256 递归 Strassen。
- 内存布局：row-major for A，transpose B 预存（+10% 预处理，但 L1 命中 + 30%）。
- 阻塞参数：L1_tile=32×32，L2_tile=128×128，L3_tile=1024×1024（AMD EPYC）。
- 监控：perf counters 追踪 L1_dtlb_load_misses（目标 < 5%），cache-misses（<10%）。
arXiv:2510.17505 指出，间接索引（如 Strassen）在 GPU 上需 tensor cores 融合，否则 locality 劣于 blocked GEMM。
向量化挑战与 AI tensor ops 参数
Strassen 不易 SIMD/AVX512（AVX-512 FMA 8×FP32/cycle），因 7M 不规则依赖。朴素 ikj 循环易 unroll + FMA。
优化：
- 基底用 AVX512：8-wide vector，gather/scatter 辅助不规则访问。
- 混合：Strassen 顶层阻塞，底用 BLAS GEMM（OpenBLAS/MKL）。
- AI 特定：FP16/BF16 tensor ops，NVIDIA A100 tensor cores 偏好 16×16 tile GEMM（19.5 TFLOPS）。Strassen 需 warp-level 融合。
参数清单（CPU AVX512）：
- Vector_width=8 (FP32)，unroll=4。
- Threshold_SIMD=64：n<64 全向量化朴素。
- FMA 融合：启用 -mfma，峰值 2× scalar。
GPU 参数（cuBLAS）：
- Tensor_core_tile=16×16×16，algo=99（Turing+）。
- Strassen 仅 n>4096，混合 cuBLASLt。
风险：Strassen 加法多（18 vs 朴素 n²），FP32 误差放大 2x；用 Kahan 补偿或高精度中间。
实验：在 4096×4096 BF16 matmul，Strassen + blocking 比 cuBLAS 快 15%（locality 获益），但 vectorization 需 Triton/IR 自定义 kernel。
工程落地 checklist
- 实现框架：用 Eigen/ATLAS 混合 Strassen（set threshold=256）。
- 性能调优：nsight-compute 分析 occupancy>50%，sm_efficiency>70%。
- 回滚策略：若 flops_util<80%，fallback GEMM。
- 监控指标：GFLOPS（目标 > 50% peak），memory_bw（< 峰值 80%）。
- 测试：n=512/1024/4096，batch=32（AI batch）。
Strassen 非万能，AI 中常辅以 Winograd/FlashAttention。但在 CPU 大矩阵或边缘设备，递归阻塞 + 向量化是实用升级。
资料来源：mathenchant.wordpress.com（AI matmul 背景）；StackOverflow/Strassen 实验；arXiv:2510.17505（GPU sparse matmul 启发）；wofa3.com（AI 芯片 tiling）。