Lambda 演算（λ-calculus）是函数式编程与计算理论的基础，其核心操作 β 归约（beta reduction）定义为 (λx.M) N → M[x := N]，即将 N 替换 M 中 x 的自由出现。但实际表达式嵌套复杂，替换易引发变量捕获（capture），手动追踪过程枯燥，难以直观把握归约策略（如正常序 normal order 或应用序 applicative order）间的差异。
可视化 β 归约过程，能显著提升理解：通过交互式图表动画，逐帧高亮 redex（可归约子项）、模拟替换、α 重命名（避免捕获），并支持用户控制步进/回退。这不仅是教育工具，还适用于编译器调试、类型检查器验证与形式化证明辅助。
核心工程架构
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解析与 AST 构建
输入字符串需解析为抽象语法树（AST）。推荐使用 Pratt parser 或 recursive descent，支持标准 λ 语法：变量 x、抽象 λx.M、应用 (M N)。
- 参数：支持 De Bruijn 索引（避免 α 等价问题），但可视化时转回命名变量。
- 风险：歧义括号，参数：预设左结合应用、右扩展抽象体。
示例："(λx.(λy.x y)) z" → App(Lam("x", App(Lam("y", App(Var("x"), Var("y")))), Var("z"))。
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图表渲染：DAG 表示
λ 项天然为 DAG（有向无环图），节点类型：Var（圆圈）、Lam（λ 图标+绑定线）、App（箭头连接函数/参数）。使用 SVG/Canvas 渲染，避免树爆炸（sharing）。
- 工具：D3.js（力导向布局）或 Cytoscape.js（交互缩放）。
- 参数：节点半径 20px，边粗细 2px，Lam 绑定用虚线环绕子图；缩放阈值 0.5~3x，支持拖拽。
- 动画：GSAP 或 D3 transition，持续 500ms/步，缓动 easeOutQuad。
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β 归约引擎
检测最左/最内 redex，支持策略切换。
- 替换算法：fresh 变量生成（α 转换），检查 FV(N) ∩ BV(M) ≠ ∅ 时重命名。
- 参数：最大步数 100（防无穷循环，如 Ω = (λx.x x)(λx.x x)）；超时 2s/步。
- 历史栈：每步快照 AST + 渲染状态，支持 undo（栈深 50）。
清单：
| 步骤 |
操作 |
可视化 |
| 1 |
高亮 redex |
红框 + 脉冲动画 |
| 2 |
α 重命名 |
渐变文字替换 |
| 3 |
替换 |
节点融合/箭头重绘 |
| 4 |
布局重排 |
力导向平滑过渡 |
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用户控制与 UI
- 控件：播放/暂停、单步前进/后退、策略下拉（normal/applicative/call-by-value）、速度滑块（200~2000ms/步）、重置、导出 GIF。
- 参数：键盘快捷键（Space 播放，←/→ 步进）；移动端触屏捏合缩放。
- 监控：FPS 计（目标 60）、内存峰值 < 100MB、归约深度警报 > 20。
性能优化与回滚
- DAG 共享：使用指针/引用，避免复制子树；垃圾回收后重绘。
- 增量动画：仅更新变更节点，diff AST 变化（LCS 算法）。
- 回滚策略：状态机 + Redux-like store，异常时 revert 至上稳态。
- 测试案例：Church 数加法（ADD 2 3 → 5）、Y 组合子递归、错误捕获如变量冲突。
实际部署示例：WebAssembly 版引擎（Rust/Wasm），前端 React + Konva.js。Peter Sestoft 的 lamreduce 工具即基于大步语义 Web 演示，证明了可行性，可扩展为全动画。
此方案参数化强，易落地：起步克隆 lamreduce，集成 D3 动画，即得 MVP。监控指标：用户停留 > 5min、完成率 > 80%。
资料来源：
- Peter Sestoft, “Demonstrating Lambda Reduction” (http://www.dina.kvl.dk/~sestoft/lamreduce/)。
- Stanford Lambda Calculus 百科 (plato.stanford.edu/entries/lambda-calculus/)。