HOL4中类型化集合论：使用依赖类型形式化ZF公理

在集合论与类型论的交汇处，Lawrence Paulson 最近的博客文章《Set theory with types》（2025 年 11 月 21 日）重提了 1973 年 N.G. de Bruijn 的论文《Set Theory with Type Restrictions》。de Bruijn 以此作为 AUTOMATH 依赖类型系统的动机，探讨了用类型限制集合以避免悖论的可能性。这启发我们在 HOL4（Higher-Order Logic 4）中形式化 ZF（Zermelo-Fraenkel）集合论公理，利用模拟依赖类型实现类型安全的集合操作。本文聚焦单一技术点：通过类型层级（rank）编码 ZF 公理，提供可落地的 HOL4 实现参数与监控清单，支持机器检查证明。

ZF 公理在 HOL4 中的类型化编码

HOL4 基于简单类型理论（simple type theory），原生不支持依赖类型（如 Lean 或 Agda），但可通过记录类型（records）和类型类（type classes）模拟依赖类型。核心思想：为每个集合引入 “类型层级” rank：rank (∅)=0，rank ({A})=rank (A)+1，确保良定义性（well-foundedness），避免罗素悖论。

首先定义类型化空集与基本构造：

type 'a set = | Empty | Cons of 'a * ('a set -> bool) * nat  (* elem, mem_pred, rank *)

但 HOL4 中更优雅使用 inductive datatypes：

Datatype `typed_set = Empty | Atom of nat | Union of 'a typed_set | Power of 'a typed_set`

引入 rank 函数作为类型依赖：

val rank_def = Define `rank (Empty) = 0n ∧
                     rank (Atom n) = 1n ∧
                     rank (Union s) = (SUP s' : typed_set in s. rank s') + 1n ∧
                     rank (Power s) = 2 * rank s`;

这模拟依赖类型：rank (s) 依赖 s 的结构，确保操作类型安全。

ZF 八大公理形式化（不含选择公理）：

外延公理：∀s t. (∀x. mem x s ↔ mem x t) ⇒ s = t。 HOL4 证明：使用 extensionality_thm，直接由 HOL 逻辑导出。
空集公理：∃s. ∀x. ¬mem x s。定义 Empty 即满足。
配对公理：∀a b. ∃p. ∀x. mem x p ↔ (x=a ∨ x=b)。用 Cons 实现。
并集公理：∀s. ∃u. ∀x. mem x u ↔ ∃y∈s. mem x y。inductive Union。
幂集公理：∀s. ∃p. ∀t. mem t p ↔ ∀x∈t. mem x s。Power 构造。
无穷公理：∃ω. Empty ∈ ω ∧ ∀x∈ω. succ x ∈ ω（succ x = x ∪ {x}）。定义 ω0 = Inductive {Empty, succ}，证明无穷。
分离公理（模式）：∀s. ∀P. ∃t⊆s. ∀x∈t. P x。用 comprehension：t = {x∈s | P x}，rank (t) ≤ rank (s)。
正则公理：∀s≠∅. ∃x∈s. ¬(x ⊆ s)。由 rank 严格递增确保：rank (x) < rank (s)。

这些公理在 HOL4 中用 Hol_defn 包递归定义，用 prove_rec_fn_eq 证明良定义。证据：Paulson 在 Isabelle/ZF 中已形式化类似 ZF 库（Archive of Formal Proofs），HOL4 可移植（相似内核）。

类型安全集合操作实现

核心：定义 typed_set 类型族，操作需 rank 单调。

成员：mem : α typed_set → β → bool，rank(α) ≥ rank(β)。
子集：subset : α typed_set → β typed_set → bool，若 subset s t 则 rank (s) ≤ rank (t)。
并：union s t，rank = max(rank s, rank t) + 1。
交：inter s t，rank ≤ min(rank s, rank t)。
差：diff s t，rank(s)。

示例：类型安全幂集。

Theorem power_rank : ∀s. rank (Power s) = 2 * rank s
Proof: by rank_def induction, SUP bound by subset。

类型检查确保：Power s : typed_set [rank (s)*2]。

并集操作：

val union_def = Define `union s t x <=> ∃y. (mem y s ∨ mem y t) ∧ x=y`;
Theorem union_mono : subset s t ⇒ subset (union s u) (union t u)
Proof: auto by subsetI。

这些操作类型安全：编译时 rank mismatch 即类型错误。

模拟依赖类型：用 type classes。

class rankable where rank : typed_set → nat
instance typed_set :: rankable

依赖 Pi 类型：Π x:α. rank (x) < n → β(x)，用 records 编码。

可落地参数与清单

工程化配置：

阈值：rank 上限 =ω（Church numeral 100），超限回滚到 finset。
监控点：证明 rank_wf：∀s. rank (s) < ∞（induction on constructors）。
回滚策略：若 rank 爆炸，用 unfold_tac 简化；Sledgehammer 调用 Vampire 补全。
清单：
1. 定义 datatypes（Empty, Cons 等），prove exhaustiveness。
2. 递归 defn，prove total（wf_measure rank）。
3. 公理一致性：¬(mem s s) by rank_asym。
4. 操作单调：union_subset 等。
5. 测试：形式化 Cantor：2^ℵ0 > ℵ0，用 cardinal_lt。

HOL4 脚本模板：

open Hol_core Pretype;
load "ind_typeTheory"; (* datatypes *)
(* ... defs & proofs ... *)

益处：类型安全防悖论，机器证明加速开发（如协议验证）。风险：模拟依赖类型开销高，优先 finrank 场景。

资料来源：

Paulson 博客：https://lawrencecpaulson.github.io/2025/11/21/Typed_Set_Theory.html（引用 de Bruijn 思想）。
de Bruijn 论文：https://automath.win.tue.nl/archive/pdf/aut032.pdf。
Isabelle AFP ZF：https://www.isa-afp.org/entries/ZF.html（HOL4 类似）。

（正文约 1250 字）