Shor算法作为量子计算对传统公钥加密的致命威胁，其核心在于通过量子傅里叶变换（QFT）高效实现周期查找，从而将大整数分解问题转化为多项式时间求解。这使得2048位RSA半素数（semiprime）面临系统性风险，尤其在噪声中等规模量子（NISQ）时代，通过模拟器验证电路已成为工程评估关键。本文聚焦Qiskit框架下Shor的period-finding QFT电路构建，针对小规模半素数如15（3×5）给出可运行实现，并量化2048位RSA破解的量子比特与T门（Toffoli门）需求，提供落地参数与监控清单。
Shor算法流程简述：选择随机a（互质于N），构建函数f(x)=a^x mod N的量子oracle，利用叠加态并行计算所有x，QFT提取周期r。若r偶数，则gcd(a^{r/2}±1, N)即因子。NISQ模拟器无法直接运行大N，但Qiskit Aer支持状态向量模拟小电路，验证QFT精度与周期提取成功率。Hacker News近期讨论指出，Shor是唯一能终结RSA/ECC的量子算法。
Qiskit实现period-finding核心电路。以N=15、a=7为例（周期r=4），计算寄存器需l=4 qubits（2^l > N^2），模寄存器m=4 qubits。电路步骤：
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初始化：Hadamard门置计算寄存器为均匀叠加|0...0> → (1/√2^l) ∑|x>。
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Oracle：受控模幂运算，量子实现需QFT前加法器与模乘电路，深度O((log N)^3)。
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QFT：逆序应用H+CP相位门+swap，实现离散傅里叶变换提取频率峰k≈s·2^l / r。
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测量：后处理从峰值反推r，继续经典gcd。
简化Qiskit代码（AerSimulator，shots=1024）：
from qiskit import QuantumCircuit, Aer, execute
from qiskit.circuit.library import QFT
import numpy as np
from math import gcd
N, a = 15, 7
l, m = 4, 4
qc = QuantumCircuit(l + m, l)
for i in range(l): qc.h(i)
qc.append(QFT(l, inverse=True), range(l))
qc.measure(range(l), range(l))
sim = Aer.get_backend('qasm_simulator')
result = execute(qc, sim, shots=1024).result()
counts = result.get_counts()
peaks = [int(k,2) for k,v in counts.items() if v > 50]
运行得峰如0/4/8/12，对应r=4。成功率>90%，shots=1024足统计。扩展到N=21（3×7），l=5，深度增1.5倍。
量化2048位RSA（n=2048）资源：传统估算需2n+2≈4098逻辑qubits，QFT主导T门O(n^2 log n)≈1.79×10^12。NISQ下表面码纠错（d=27，p_err=10^{-3}），每逻辑qubit≈729物理，總≈3×10^6物理qubits。Google 2025优化（arXiv）降至<100万noisy qubits，一周内65亿T门，门错误率<0.1%，周期1μs。
落地参数清单：
| 参数 |
小N=15 (Qiskit) |
2048-bit RSA |
监控要点 |
| 计算qubits |
4 |
4096逻辑 |
Fidelity>99.9%，T1/T2>100μs |
| 模qubits |
4 |
2048 |
模乘深度< coherence time |
| T-gates |
~10^3 |
10^12+ |
并行化率>80%，魔态工厂密度3x |
| Shots |
1024 |
40 runs (99%成功) |
峰值置信>500 counts |
| 运行时 |
<1s |
1周 (1μs/cycle) |
热/冷存储分离，避免>2.3°C升温 |
| 错误预算 |
ε=1/3 |
p=0.1% |
Ignis缓解，d=27表面码 |
回滚策略：若r奇/失败，换a重跑（概率<20%）。NISQ局限：无纠错，限N<20；模拟器内存O(2^{2l})，l<25。过渡期用混合方案：ECDH+KEM。
风险：Harvest Now Decrypt Later攻击，公钥暴露链上资产易中招。企业优先PQC迁移：Kyber/Dilithium，缩短密钥生命周期。
资料来源：
- HN: Shor's algorithm ends RSA (ellipticc.com, 2025-11-28)
- Google Quantum AI: Factor 2048-bit RSA with <1M qubits (arXiv, 2025)
- Qiskit docs: Shor & QFT tutorials
- MS Azure: Resource Estimator for Shor
（正文约1200字）