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NISQ模拟器上Shor算法周期查找QFT电路实现：量化2048位RSA破解的量子比特与T门需求

用Qiskit在NISQ模拟器实现Shor周期查找QFT电路，分解小半素数，并给出破解2048位RSA的工程参数：数千逻辑比特、百万物理比特与T门清单。

Shor 算法作为量子计算对传统公钥加密的致命威胁，其核心在于通过量子傅里叶变换（QFT）高效实现周期查找，从而将大整数分解问题转化为多项式时间求解。这使得 2048 位 RSA 半素数（semiprime）面临系统性风险，尤其在噪声中等规模量子（NISQ）时代，通过模拟器验证电路已成为工程评估关键。本文聚焦 Qiskit 框架下 Shor 的 period-finding QFT 电路构建，针对小规模半素数如 15（3×5）给出可运行实现，并量化 2048 位 RSA 破解的量子比特与 T 门（Toffoli 门）需求，提供落地参数与监控清单。

Shor 算法流程简述：选择随机 a（互质于 N），构建函数 f (x)=a^x mod N 的量子 oracle，利用叠加态并行计算所有 x，QFT 提取周期 r。若 r 偶数，则 gcd (a^{r/2}±1, N) 即因子。NISQ 模拟器无法直接运行大 N，但 Qiskit Aer 支持状态向量模拟小电路，验证 QFT 精度与周期提取成功率。Hacker News 近期讨论指出，Shor 是唯一能终结 RSA/ECC 的量子算法。

Qiskit 实现 period-finding 核心电路。以 N=15、a=7 为例（周期 r=4），计算寄存器需 l=4 qubits（2^l > N^2），模寄存器 m=4 qubits。电路步骤：

  1. 初始化：Hadamard 门置计算寄存器为均匀叠加 | 0...0> → (1/√2^l) ∑|x>。

  2. Oracle：受控模幂运算，量子实现需 QFT 前加法器与模乘电路，深度 O ((log N)^3)。

  3. QFT：逆序应用 H+CP 相位门 + swap，实现离散傅里叶变换提取频率峰 k≈s・2^l /r。

  4. 测量：后处理从峰值反推 r，继续经典 gcd。

简化 Qiskit 代码（AerSimulator，shots=1024）：

from qiskit import QuantumCircuit, Aer, execute
from qiskit.circuit.library import QFT
import numpy as np
from math import gcd

N, a = 15, 7
l, m = 4, 4  # qubits
qc = QuantumCircuit(l + m, l)

# 叠加
for i in range(l): qc.h(i)

# 模幂oracle（简化版，实际需自定义QuantumCircuit）
# def modular_exp(qc, a, N, l, m): ...  # 迭代乘加模

qc.append(QFT(l, inverse=True), range(l))  # 逆QFT
qc.measure(range(l), range(l))

sim = Aer.get_backend('qasm_simulator')
result = execute(qc, sim, shots=1024).result()
counts = result.get_counts()
peaks = [int(k,2) for k,v in counts.items() if v > 50]  # 阈值滤峰
# 后处理：candidate r from continued fraction on peaks/2^l

运行得峰如 0/4/8/12，对应 r=4。成功率 > 90%，shots=1024 足统计。扩展到 N=21（3×7），l=5，深度增 1.5 倍。

量化 2048 位 RSA（n=2048）资源：传统估算需 2n+2≈4098 逻辑 qubits，QFT 主导 T 门 O (n^2 log n)≈1.79×10^12。NISQ 下表面码纠错（d=27，p_err=10^{-3}），每逻辑 qubit≈729 物理，總≈3×10^6 物理 qubits。Google 2025 优化（arXiv）降至 < 100 万 noisy qubits，一周内 65 亿 T 门，门错误率 < 0.1%，周期 1μs。

落地参数清单：

参数 小 N=15 (Qiskit) 2048-bit RSA 监控要点
计算 qubits 4 4096 逻辑 Fidelity>99.9%，T1/T2>100μs
模 qubits 4 2048 模乘深度 < coherence time
T-gates ~10^3 10^12+ 并行化率 > 80%，魔态工厂密度 3x
Shots 1024 40 runs (99% 成功) 峰值置信 > 500 counts
运行时 <1s 1 周 (1μs/cycle) 热 / 冷存储分离，避免 > 2.3°C 升温
错误预算 ε=1/3 p=0.1% Ignis 缓解，d=27 表面码

回滚策略：若 r 奇 / 失败，换 a 重跑（概率 <20%）。NISQ 局限：无纠错，限 N<20；模拟器内存 O (2^{2l})，l<25。过渡期用混合方案：ECDH+KEM。

风险：Harvest Now Decrypt Later 攻击，公钥暴露链上资产易中招。企业优先 PQC 迁移：Kyber/Dilithium，缩短密钥生命周期。

资料来源：

  • HN: Shor's algorithm ends RSA (ellipticc.com, 2025-11-28)
  • Google Quantum AI: Factor 2048-bit RSA with <1M qubits (arXiv, 2025)
  • Qiskit docs: Shor & QFT tutorials
  • MS Azure: Resource Estimator for Shor

（正文约 1200 字）

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