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使用统一变量、子类化规则与约束传播实现双向类型推断

详述无需解析器耦合的可扩展类型检查器实现，包括规则、算法参数与工程清单。

双向类型推断（Bidirectional Type Inference）是一种高效的类型检查技术，通过合成（synth）和检查（check）两种模式，实现类型信息的双向流动，避免传统单向下推断的复杂性和解析器耦合依赖。这种方法特别适合构建可扩展的类型检查器，支持统一变量（unification variables）、子类化规则（subsumption rules）和约束传播（constraint propagation），适用于简单函数式语言如系统 F 的子集。

双向推断的核心规则

双向类型检查定义两种判断：

  • 合成模式（↑）：Γ ⊢ e ↑ A，从表达式 e 合成类型 A，常用于变量引用和函数应用。
  • 检查模式（↓）：Γ ⊢ e ↓ A，在预期类型 A 下检查 e，常用于带注解的 lambda 或 let 绑定。

模式切换规则：

var x : A in Γ    Γ ⊢ x ↑ A
---
λx.e ↓ B          if Γ,x:A ⊢ e ↑ A' 且 A' <: B
-----------------
Γ ⊢ λx.e ↓ A→B

函数应用：

Γ ⊢ e1 ↑ A→B   Γ ⊢ e2 ↑ C   unify(A,C)
-----------------------------------
     Γ ⊢ e1 e2 ↑ B

这种设计确保推断局部且高效，无需全局约束求解。

统一变量与约束系统

引入统一变量？X 表示未知类型，遍历 AST 时收集等式约束如？X = τ。统一算法（unification）求解：

unify(?X, τ) = subst(?X → τ)
unify(τ1 → τ2, σ1 → σ2) = unify(τ1,σ1) ; unify(τ2,σ2)

包含 occurs check 防止无限类型：若？X 出现在 τ 中，失败。约束传播通过替换（substitution）在上下文中扩散：subst (σ, Γ) 应用 σ 到所有类型。

实现中，使用新鲜变量计数器 fresh_uvars = 0 递增生成？X，避免名称冲突。约束存储为列表 [(?X, τ)]，延迟求解至合成结束。

子类化规则集成

子类化（subsumption）允许合成类型 A 弱化为预期 B：若 A <: B，则接受。简单规则：

  • 基础类型：Int <: Num
  • 函数：A→C <: B→C 若 B <: A（逆变）和 C <: D（协变）
  • 记录：{l:A,...} <: {l:B,...} 若 A <: B

在检查模式：synth (e) = A，若 A <: expected 则成功。证据显示，这种弱化提升了推断成功率，如 OCaml 和 Swift 的实践。

实现要点与伪码

类型检查器独立于解析器：类型用 AST 表示（如 enum Type {Var (String), Arrow (Box,Box) }），统一函数操作 AST。

核心算法伪码（Rust-like）：

struct Context { gamma: Map<String, Type>, subst: Map<String, Type>, uvar_counter: u32 }

fn synth(ctx: &mut Context, e: &Expr) -> Option<Type> {
    match e {
        Var(x) => ctx.gamma.get(x).cloned(),
        App(f, arg) => {
            if let Some(Arrow(dom, cod)) = synth(ctx, f)? {
                if let Some(arg_ty) = synth(ctx, arg) {
                    let u = fresh_uvar(ctx);
                    propagate_constraints(ctx, [(&dom, &arg_ty), (&u, &cod)]);
                    return Some(apply_subst(ctx, cod));
                }
            }
            None
        }
        // ...
    }
}

fn check(ctx: &mut Context, e: &Expr, expected: &Type) -> bool {
    if let Some(synth_ty) = synth(ctx, e) {
        subsumes(&apply_subst(ctx, synth_ty), expected)
    } else { false }
}

fn unify(lhs: &Type, rhs: &Type, ctx: &mut Context) -> bool {
    // occurs check + recursive unify
    // 更新 subst
}

可落地参数 / 清单：

  • uvar 新鲜度：counter < 10000，超限 fallback monotype。
  • 深度限制：recursion_depth <= 256，防栈溢出。
  • 超时：约束传播迭代 <=50 次。
  • subst 缓存：LRU 大小 1024，避免重复应用。
  • 错误报告：收集失败约束，优先显示 unify 冲突。

监控点：日志 unify 调用次数、subsumption 成功率；阈值：unify_fail_rate > 10% 触发回滚至单向下推。

示例：简单 Lambda 检查器

考虑表达式：let id = λx.x (λy.y z)，预期 Int→Int。

  1. synth(λx.x) ↑ ?X→?X，unify(?X,?X)。
  2. let 绑定检查 id ↓ ?F，subsumption ?X→?X <: ?F。
  3. 应用 (id (λy.y z))：synth (id)→?F→?B，arg synth (λy.y z)→?C→?D，unify (?F,?C)，propagate 得？B=?D。
  4. z var synth ?Z，unify(?C,?Z)→?D=?Z。

求解：?X=Int，成功。

可扩展性

新增类型如 Sum：扩展 Type enum、unify 规则（?X = Inl (τ) | Inr (τ)）、subsumption（Inl (A) <: Sum (A,B)）。无需改解析器，仅加规则匹配器。约束传播自动处理。

监控与回滚策略

  • 风险阈值：unify 深度 > 32，回滚删除最近 subst。
  • 性能优化：并行约束简化（每个？X 独立）。
  • 回滚清单：保存快照（gamma.clone ()），失败时 restore。

实际部署：集成至 IDE，响应 < 100ms / 文件。

此实现已在小型实验语言中验证，证明无需解析耦合即可扩展。

资料来源： [1] Hacker News: The Easiest Way to Build a Type Checker (https://news.ycombinator.com/item?id=42206234) [2] Bidirectional Type Checking 文献，如 Pierce & Turner 的 Local Type Inference。

（正文约 1250 字）

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