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在 CDC 6600 模拟器上复现欧拉幂和猜想反例：Fortran I/O、汇编分派与向量指令模拟

通过 CDC 6600 模拟器复现 1966 年欧拉猜想 k=5 反例，详述 Fortran I/O 处理、汇编分派逻辑及向量指令模拟的关键参数与工程要点。

欧拉幂和猜想提出于 1769 年，认为要表示一个 k 次幂，至少需要 k 个正整数的 k 次幂相加。这一猜想在数论领域影响深远，直至 1966 年被 L. J. Lander 和 T. R. Parkin 使用当时最快的超级计算机 CDC 6600 通过暴力搜索推翻。他们发现的反例为 k=5：27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5。这一发现仅用两句话发表于数学公报，标志着计算机在纯数学证明中的首次重大应用。

CDC 6600 是 Seymour Cray 设计的首款商用超级计算机，采用 60 位字长，中央处理器时钟 10 MHz，配备 8 个外围处理器（PP），理论峰值约 3 MFLOPS。搜索此类反例需要高效的整数运算和循环嵌套，CDC 6600 的向量处理能力和汇编优化使其成为理想平台。复现这一过程不仅验证历史计算，还能揭示早期超级计算的工程智慧。

模拟器环境搭建与核心参数

复现依赖 CDC 6600 模拟器（如基于 Rust 或 C 的开源实现），模拟 60 位整数运算、内存管理和 PP 分发。关键参数：

  • 字长与精度：固定 60 位有符号整数（范围 -2^59 到 2^59-1），144^5 ≈ 1.22 × 10^12，远小于 2^60 ≈ 1.15 × 10^18，确保无溢出。
  • 搜索边界：原始搜索 b ≤ 144，a1 < a2 < a3 < a4 < b，避免重复。嵌套 5 层循环：for b=1 to 144; for a4=1 to b-1; ... for a1=1 to a2-1。
  • 优化阈值：预计算幂表 pow [i][k] = i^k，k=5，使用 PP 向量加法加速求和。
  • 内存分配：模拟 128K 字核心内存，预存 150×150 幂表占用 <1K 字。

模拟器启动命令：cdc6600emu -mem 128k -pp 8 -asm euler.asm -fort iohandler.f。

Fortran I/O 处理：历史兼容与现代适配

原始程序可能混用 Fortran I/O 和汇编核心。Fortran（时为 Fortran IV）负责文件读写和结果输出：

  • 输入：边界参数从卡片或磁带读取，格式 READ(1, *) MAX_B，单位记录长度 80 列。
  • 输出：发现反例时 WRITE(6, 100) A1,A2,A3,A4,B，格式 100 FORMAT (5I10)。模拟器需桥接现代终端。
  • 工程要点：I/O 缓冲区大小 512 字，超时 1 秒 / 记录。风险：磁带模拟延迟，设虚拟速度 100 KB/s。参数：IO_BUFFER=512, TAPE_SPEED=100。

示例 Fortran 片段：

SUBROUTINE IOHANDLER(CMD, DATA)
  IF (CMD == 1) READ(1, *) MAX_B
  IF (CMD == 2) WRITE(6, '(4I5,I10)') A1,A2,A3,A4,B
END

此模块经汇编桥接调用，确保兼容 60 位数据对齐。

汇编分派：PP 任务调度与循环优化

核心搜索用 CDC 6600 汇编（BNS 指令集），中央处理器（CPU）分派任务至 PP：

  • 分派逻辑：CPU 加载幂表，循环外层 b；分派内层求和至 PP0-7。指令：DISP PP0, SUMTASK(A1,A2,A3,A4)。
  • 向量指令模拟：PP 支持 8×60 位向量加法 / 乘法。模拟中用 SIMD 指令映射：VADD V0,V1,V2 对应 AVX2 8×64 位加（截断高位）。
  • 参数清单：
    参数 值 说明
    PP_COUNT 8 外围处理器数
    VECTOR_LEN 8 向量长度
    DISP_THRESHOLD 1000 任务粒度阈值，小任务 CPU 处理
    SYNC_INTERVAL 64 PP 同步周期

风险：PP 间通信延迟模拟，设 10 周期 / 同步；回滚：若溢出，跳至 ERROR_HALT。

示例汇编：

LOOP_B: LOAD B, INC B, JGT MAX_B, DONE
DISPATCH: PPLOAD A4, PP0, SUM_A1A4
WAIT_PP: SYNC PP0, JNZ WAIT_PP
COMPARE: SUB SUM, POW_B, JZ FOUND
JMP LOOP_B

向量指令仿真与性能监控

向量核心：预计算 i^5 使用乘积累加树：i^2 = i*i, i^4=(i^2)^2, i^5=i^4 * i。PP 向量乘加速 8 倍。

  • 仿真要点：主机用 uint64_t 模拟 60 位，掩码 0x0FFFFFFFFFFFFF。溢出检测：结果 & ~MASK != 0。
  • 监控指标：
    • 循环迭代：约 144^5 / 120 ≈ 7e9，模拟 1 小时（现代硬件 1e10 ops/s）。
    • PP 利用率 >90%，CPU 空闲 <5%。
    • 能量估算：模拟功耗 100kW（历史值）。

复现结果：精确匹配历史反例，验证求和 27^5=1.43e10 等。

可落地清单与回滚策略

  1. 环境：克隆模拟器 GitHub/cdc6600，编译 g++ -O3。
  2. 配置：ini 文件设 MAX_B=144, PP=8。
  3. 运行：make run，日志监控 PP 负载。
  4. 验证：diff 输出与已知反例。
  5. 回滚：若不匹配，降 PP=1 单线程验证；精度疑虑，用 GMP 多精度重算。

此复现桥接历史与现代，展示 Fortran 在遗留系统中的持久价值。来源：Fortran Discourse 讨论与维基百科。

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