2026 年 1 月，数学界见证了一个里程碑时刻：Erdos 问题 #728 被正式标记为 "PROVED (LEAN)"，这意味着这个困扰数学家数十年的数论问题不仅被解决，而且其证明在 Lean 定理证明系统中得到了严格验证。更引人注目的是，这一成就的取得者是 Barreto 与 ChatGPT-5.2 的协作系统，标志着 AI 在形式数学证明领域迈出了实质性的一步。
Erdos 问题 #728 的数学背景
Erdos 问题 #728 是一个典型的数论问题，涉及阶乘的整除性质。具体表述为：设 C>0 和 ε>0 足够小，是否存在无限多个整数 a,b,n 满足 a≥εn 且 b≥εn，使得 a!b! 整除 n!(a+b-n)!，同时满足 a+b > n + C log n？
这个问题最初由 Erdős、Graham、Ruzsa 和 Straus 在 1975 年提出，是组合数论中关于二项式系数整除性的经典问题。Erdős 本人在 1968 年证明了如果 a!b! 整除 n!，那么 a+b ≤ n + O (log n)，而 #728 问题则探讨了相反方向的可能性。
Barreto 与 ChatGPT-5.2 的证明显示，对于任意 0<C1<C2，存在无限多个 a,b,n 满足 b=n/2，a=n/2+O (log n)，且 C1 log n < a+b-n < C2 log n，使得 a!b! 整除 n!(a+b-n)!。这一构造性证明不仅回答了问题的肯定方向，还提供了具体的参数化解决方案。
AI 证明系统的三层架构设计
1. 符号推理层：从自然语言到形式逻辑
AI 证明系统的第一层挑战是将自然语言描述的数学问题转化为形式化的逻辑语句。对于 Erdos 问题 #728，这一转化过程涉及：
- 语义解析：理解 "存在无限多个整数"、"整除"、"阶乘" 等数学概念的精确含义
- 形式化转换：将问题表述为 Lean 可接受的形式化语句
- 假设管理：识别并处理问题中的隐含假设（如 a,b≤n 的约束条件）
ChatGPT-5.2 在这一层发挥了关键作用，利用其强大的自然语言理解和代码生成能力，将模糊的数学描述转化为精确的形式化定义。然而，这一过程并非一帆风顺 —— 原始问题表述存在歧义，需要 AI 系统结合数学上下文进行合理推断。
2. 定理证明引擎：构造性证明的生成
证明引擎是系统的核心，负责生成具体的证明策略和构造。在解决 #728 问题时，系统采用了以下技术路线：
- 启发式搜索：在巨大的证明空间中寻找可行的证明路径
- 模式识别：借鉴类似数论问题的证明技巧
- 参数化构造：设计满足条件的无限序列 {a,b,n}
Barreto 的贡献在于提供了关键的数学洞察，而 ChatGPT-5.2 则负责将这些洞察转化为可执行的证明步骤。两者的协作模式体现了 "人类直觉 + AI 计算" 的混合智能优势。
3. 验证接口：Lean 证明检查与人类审阅
验证层确保证明的严格正确性，包含两个关键组件：
- Lean 验证器：将生成的证明编译为 Lean 代码，由 Lean 内核进行形式验证
- 人类可读输出：生成既符合形式逻辑又便于人类理解的证明文档
Lean 的验证过程是决定性的 —— 如果证明通过 Lean 检查，那么它在数学上就是绝对正确的。这种 "一次验证，永久可信" 的特性是形式化数学的核心价值。
工程实现的关键参数与接口设计
证明生成参数配置
成功的 AI 定理证明系统需要精细的参数调优：
- 搜索深度限制：控制在 100-500 步之间，避免组合爆炸
- 回溯阈值：当证明路径失败时，设置合理的回溯点
- 启发式权重：为不同的证明策略分配优先级权重
- 资源分配：CPU/GPU 计算资源的动态调度策略
人机协作接口设计
有效的协作接口需要平衡自动化与人工干预：
- 实时反馈循环：AI 生成证明片段，人类提供即时反馈
- 可解释性输出：不仅输出最终证明，还提供中间推理步骤
- 错误诊断工具：当证明失败时，提供详细的错误分析和修复建议
- 版本控制集成：跟踪证明的演化过程，支持协作编辑
验证流水线优化
Lean 验证虽然严格，但可能耗时较长。优化策略包括：
- 增量验证：将大证明分解为小引理，分别验证
- 缓存机制：重用已验证的中间结果
- 并行检查：利用多核处理器加速验证过程
- 预处理优化：在生成阶段就避免已知会导致验证失败的模式
技术挑战与风险管控
逻辑一致性风险
AI 生成的证明可能表面合理但包含隐蔽的逻辑漏洞。管控措施：
- 多层验证：除了 Lean 验证外，增加独立的逻辑检查器
- 边界测试：对生成的构造进行极端值测试
- 交叉验证：使用不同的证明策略验证同一结论
可扩展性限制
当前系统在处理更复杂的数学问题时面临挑战：
- 组合爆炸：证明空间的指数级增长
- 领域知识依赖：需要大量特定领域的训练数据
- 计算资源需求：复杂证明需要巨大的计算开销
工程化部署参数
对于生产环境部署，建议配置：
- 超时设置：单次证明尝试不超过 24 小时
- 内存限制：控制在 64GB 以内
- 容错机制：支持断点续证和状态保存
- 监控指标：成功率、平均证明时间、资源使用率
未来发展方向
自动化定理发现
当前的系统主要解决已知问题，未来的发展方向是：
- 猜想生成：基于现有数学知识提出新的猜想
- 问题难度评估：自动评估数学问题的难度级别
- 证明策略学习：从成功证明中学习有效的证明模式
分布式证明系统
利用分布式计算加速大规模证明：
- 证明分片：将大证明分解为可并行处理的子任务
- 协作验证网络：多个验证节点共同完成证明检查
- 区块链存证：将已验证的证明存储在不可篡改的分布式账本上
教育与应用集成
将 AI 证明系统融入数学教育和工作流程：
- 智能辅导系统：为学生提供个性化的证明指导
- 研究助手：帮助数学家探索新的证明方向
- 工业验证：应用于软件验证、密码学证明等工程领域
结论
Barreto 与 ChatGPT-5.2 成功解决 Erdos 问题 #728 的案例，展示了 AI 在形式数学证明领域的巨大潜力。这一成就不仅是一个数学问题的解决，更是 AI 系统架构设计的胜利 —— 通过精心设计的符号推理层、定理证明引擎和验证接口，实现了从自然语言问题到严格验证证明的完整流水线。
然而，这一系统仍处于早期阶段。未来的挑战包括提高系统的通用性、降低计算成本、改善人机协作体验等。随着技术的不断进步，我们有理由相信，AI 将在数学研究、教育验证和工程应用中发挥越来越重要的作用，最终实现 "每个数学猜想都有一个机器可验证的证明" 的愿景。
资料来源：
- Erdős Problem #728 - https://www.erdosproblems.com/728
- Lean 定理证明系统架构文档
- AI-Driven Formal Theorem Proving in the Lean Ecosystem - https://leandojo.org/