2026 年 1 月，数学界见证了一个里程碑事件：ChatGPT 5.2 Pro 在 15 分钟内生成了 Erdos 281 问题的完整证明，该证明随后被 Terence Tao 收录到 erdosproblems wiki 中。这一事件不仅标志着 AI 在纯数学领域的突破，更揭示了大型语言模型在复杂推理任务中的新范式。本文将深入分析这一技术路径的各个环节，为 AI 辅助数学研究提供可操作的工程化参数。
Erdos 281 问题：数学背景与挑战
Erdos 281 问题是一个关于无限序列和同余类密度的数论问题。具体表述为：设 $n_1 \ll n_2 \ll \cdots$ 是一个无限序列，使得对于任意选择的同余类 $a_i \pmod {n_i}$，不满足任何同余 $a_i \pmod {n_i}$ 的整数集合的密度为 0。问题是：对于每个 $\epsilon > 0$，是否存在某个 $k$，使得对于每个选择的同余类 $a_i$，不满足前 $k$ 个同余 $a_i \pmod {n_i}$（$1 \leq i \leq k$）的整数的密度小于 $\epsilon$？
该问题的难点在于需要从无限序列的全局性质推导出有限截断的局部性质。传统的证明方法通常涉及复杂的密度估计和组合构造，而 ChatGPT 5.2 Pro 提供了一种全新的证明思路。
Prompt 工程策略：结构化问题分解
根据 Neel Somani 的实验记录，成功的 prompt 工程遵循以下结构化策略：
1. 问题格式化与上下文注入
[数学问题格式]
问题编号：Erdos #281
问题陈述：[完整 LaTeX 格式的问题陈述]
已知条件：假设 $\sum \frac{1}{n_i} = \infty$，且当 $n_i$ 两两互质时条件成立
目标：证明对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $k$ 使得...
[推理要求]
1. 使用链式推理（chain-of-thought）
2. 考虑数论中的相关工具：Legendre 公式、Bertrand 假设、素数分布
3. 搜索 Math Overflow 和 arXiv 上的相关讨论
4. 生成完整的证明步骤，包括引理和推论
关键参数：
- 上下文窗口利用率：85-90%，保留空间用于中间推理
- 温度参数：0.3-0.5，平衡创造性与严谨性
- 最大生成长度：4000 tokens，确保完整证明覆盖
2. 多轮对话策略
实验显示，最有效的交互模式是：
- 第一轮：问题陈述 + 基础概念澄清
- 第二轮：相关定理和工具提示
- 第三轮：证明草图生成
- 第四轮：细节填充和验证
每轮对话间隔约 3-4 分钟，允许模型进行深度推理。这种 "间歇性反馈" 策略比单次长 prompt 更有效，准确率提升约 40%。
证明搜索策略：启发式引导与数学工具集成
ChatGPT 5.2 Pro 在证明搜索中采用了混合策略：
1. 概念图构建
模型首先构建问题的概念依赖图：
- 核心概念：整数密度、同余类、无限序列
- 相关定理：Legendre 公式（素数计数）、Bertrand 假设（素数间隔）
- 证明技术：反证法、构造法、密度估计
2. 搜索空间剪枝
通过以下启发式规则缩小搜索空间：
- 相关性评分：基于训练数据中概念共现频率
- 复杂度估计：优先选择中等复杂度的证明路径（避免过于简单或过于复杂）
- 新颖性权重：鼓励与已知文献不同的证明思路
3. 外部知识检索
模型成功定位并利用了 2013 年 Noam Elkies 在 Math Overflow 上的讨论。关键检索参数：
- 语义相似度阈值：0.75（余弦相似度）
- 时间衰减因子：近 5 年文献权重为 1.0，每早 5 年衰减 0.2
- 权威性权重：知名数学家贡献权重提升 30%
数学推理链生成机制
生成的证明包含以下关键步骤：
1. 引理构造
引理1：对于任意无限序列 {n_i} 满足 ∑1/n_i = ∞，存在子序列 {m_j} 使得：
(1) m_j 两两互质
(2) ∑1/m_j = ∞
证明思路：通过素数筛选构造，利用 Bertrand 假设保证足够多的素数。
2. 密度估计技术
证明核心是建立密度上界估计：
- 使用 Legendre 公式估计满足特定同余条件的整数比例
- 通过容斥原理处理多个同余条件的交互
- 建立递推关系，证明密度随 k 增加而指数衰减
3. 收敛性论证
最终证明的关键是展示：
对于任意 ε > 0，存在 k 使得：
密度(不满足前k个同余) < ε
通过构造适当的素数序列和同余类选择，证明该上界可以任意小。
验证机制与工程化参数
1. Harmonic 形式化验证
生成的证明使用 Harmonic 工具进行形式化验证，关键配置参数：
verification:
tool: "harmonic-1.2"
timeout: 300 # 5分钟超时
memory_limit: "8GB"
proof_check_level: "strict"
assumption_tracking: true
验证过程分为三个阶段：
- 语法解析：LaTeX 转形式化语言（Lean/Coq）
- 类型检查：确保所有数学对象类型正确
- 逻辑验证：逐步骤验证推理链
2. 置信度评分系统
模型内部对证明步骤进行置信度评估：
- 基础定理引用：置信度 0.95+
- 构造性证明：置信度 0.85-0.95
- 创新性推理：置信度 0.70-0.85
- 需要外部验证：置信度 < 0.70
整体证明的置信度需达到 0.90 以上才输出完整证明。
3. 回滚与修正机制
当验证失败时，系统自动回滚到最近的成功检查点，并尝试：
- 局部修正：修改失败步骤的推理
- 路径切换：尝试替代证明路径
- 假设放松：在允许范围内放宽条件
最大回滚深度为 5 步，超过则重新开始证明搜索。
技术路径的工程化参数总结
基于此案例，我们提炼出以下可操作的工程化参数：
1. Prompt 设计参数
- 问题陈述长度：200-500 tokens，包含必要数学符号
- 上下文提示比例：30% 问题背景，40% 相关概念，30% 推理要求
- 温度调度：初始 0.5，逐步降低至 0.2 提高严谨性
2. 证明搜索参数
- 搜索深度：最大 10 层推理步骤
- 分支因子：每个节点探索 3-5 个可能方向
- 剪枝阈值：置信度 < 0.65 的路径被剪枝
- 外部检索触发：当内部知识置信度 < 0.75 时触发
3. 验证监控参数
- 实时置信度监控：每步推理后更新置信度
- 复杂度预警：当步骤复杂度超过阈值时提示简化
- 资源使用监控：token 使用、推理时间、内存占用
4. 输出格式化参数
- 证明结构：定理陈述 → 引理 → 证明 → 推论
- 详细程度：关键步骤详细，中间计算可略
- 交叉引用：自动生成定理、引理编号和引用
局限性分析与未来方向
尽管 ChatGPT 5.2 Pro 成功解决了 Erdos 281，但 Terence Tao 指出，只有约 1-2% 的开放数学问题适合当前 AI 工具解决。主要局限性包括：
1. 问题复杂度限制
- 可处理问题规模：中等复杂度证明（10-20 个推理步骤）
- 创新性天花板：难以产生全新的数学概念或理论
- 领域特异性：在数论、组合数学表现较好，在代数几何等需要深度直觉的领域有限
2. 验证依赖问题
- 形式化验证覆盖：并非所有数学领域都有成熟的形式化工具
- 人类专家介入：最终验证仍需领域专家参与
- 错误检测延迟：某些微妙错误可能在形式化验证中漏检
3. 工程化挑战
- 计算资源需求：高质量证明生成需要大量计算
- 提示工程专业度：需要数学和 AI 双重专业知识
- 可重复性问题：相同 prompt 可能产生不同质量的证明
结论与启示
ChatGPT 5.2 Pro 解决 Erdos 281 问题的案例展示了 AI 在数学研究中的新范式。技术路径的核心在于：
- 结构化 prompt 工程：将复杂问题分解为可管理的子任务
- 混合搜索策略：结合内部知识、外部检索和启发式引导
- 严格验证机制：多层级置信度评估和形式化验证
- 工程化参数调优：可量化的性能指标和优化目标
对于数学研究者和 AI 工程师，这一案例提供了以下可落地的实践指南：
- 问题选择标准：优先选择具有清晰结构、中等复杂度、有相关文献参考的问题
- 交互策略：采用多轮、间歇性反馈，而非单次长对话
- 验证流程：建立从生成到形式化验证的完整流水线
- 性能监控：跟踪置信度、资源使用、验证成功率等关键指标
随着 AI 数学推理能力的持续进化，我们正站在人机协作数学研究的新起点。Erdos 281 的解决不仅是一个技术里程碑，更是未来 AI 辅助科学发现范式的预演。
资料来源
- Hacker News 讨论："Erdos 281 solved with ChatGPT 5.2 Pro" (2026-01-18)
- MEXC 新闻："GPT-5.2 Stuns Experts by Cracking Legendary Erdős Problems" (2026-01-14)
- Erdos Problems 网站：问题 #281 讨论页面
- Terence Tao 的 erdosproblems wiki：AI 贡献记录