在某些受限的编程环境中，你可能只拥有 IEEE-754 双精度浮点数类型，却没有任何方式访问其底层二进制表示 —— 既没有 C++ 的位转换运算符，也没有 JavaScript 的 DataView 或类似工具。这种情况下，将 double 转换为其 64 位二进制表示（两个 32 位无符号整数）似乎是一个不可能完成的任务。然而，工程师 dougallj 在 2020 年的研究表明，仅通过乘法和加法运算，完全可以绕过这一限制，实现完整的位转换功能。这一技巧在受限解释语言、C++ constexpr 上下文以及嵌入式系统中具有实际的工程价值。
IEEE 754 双精度格式与舍入行为
理解这一技巧的前提是掌握 IEEE-754 双精度浮点数的结构布局。一个 64 位 double 由三个字段组成：1 位符号位、11 位指数位（偏移量 1023）、以及 52 位尾数位。对于规格化数值，解释公式为 (-1)^ 符号 × (1 + 尾数 / 2^52) × 2^(指数 - 1023)。值得注意的是，IEEE-754 定义了精确的数学运算语义：如果无限精度的运算结果可以由 double 完全表示，则返回该结果；否则执行舍入。最常用的舍入模式是「最近舍入、偶数优先」（round-to-nearest, ties-to-even），这意味着当结果恰好落在两个可表示值的中点时，会选择最低有效位为零的那个值。这一舍入行为正是整个技巧的核心支点。
从布尔逻辑到条件选择
在完全没有比较运算和位操作的环境下，首先要解决的是如何表示和操作布尔值。观察发现，如果将「真」映射为 1.0、「假」映射为 0.0，则可以通过浮点运算实现基础的逻辑门。与运算可以简单地用 a × b 实现，因为只有当 a 和 b 同时为 1.0 时，乘积才为 1.0。或运算则对应 a + b - a × b，因为 1 + 1 - 1 = 1，而 0 + 0 - 0 = 0，交叉情况得到正确结果。非运算用 1 - a 实现。在此基础上，条件选择函数可以表示为 condition × if_true + (1 - condition) × if_false。这一看似简单的逻辑基础，却能构建出完整的位提取流程。唯一需要注意的是必须避免产生 Infinity，因为 Infinity × 0 会得到 NaN，而 NaN 与任何值的运算都会传播为 NaN，导致后续计算失效。
利用舍入行为检测指数范围
提取二进制位的关键在于确定输入值的指数部分。传统方法使用二分搜索配合比较运算，但这里我们采用一种更巧妙的技术：利用加法舍入行为推断指数大小。考虑向任意 double x 添加最小正指数值 2^(-1074)。如果 x 的指数编码为 0 或 1，这个最小值的添加是精确的，因为此时相邻可表示值之间的间隔（ULP）正好等于 2^(-1074)。当指数编码为 2 时，ULP 加倍，精确结果落在两个可表示值之间，舍入到偶数规则会导致结果变为 2 × 2^(-1074) 或保持不变。当指数编码达到 4 或更高时，精确结果远小于相邻可表示值的中点，因此舍入后值不变。
通过计算 x + 2^(-1074) - x 并观察结果，可以得到三种可能：0（无舍入）、2^(-1074)（精确加法）或 2 × 2^(-1074)（舍入）。将结果减去 2^(-1074) 后，再乘以 2^1074（通过平方根分两次乘法实现，因为 2^1074 本身超出范围），得到 -1、0 或 1。将结果平方后取反，就得到了一个布尔函数，指示输入值的指数是否在 0 到 1 的范围内（不包括 2）。这一函数的工程参数如下：输入范围为任意有限 double，输出为 0.0 或 1.0 的布尔值，操作序列包含一次加法、一次减法和两次乘法。
二分搜索提取完整指数
利用上述检测函数，可以构建完整的指数提取算法。核心思想是从高位的 1024 开始，不断测试当前指数是否小于某个阈值，如果是，则保持当前值并累加已减去的偏移量；否则，用缩小后的值继续测试。具体而言，初始化临时变量 tmp 为输入值，累加器 e 为 0。从测试值 1024 开始，每次迭代将 tmp 乘以 2^(-test)，检查结果是否满足 is_exp_0_or_1 条件。如果是，则 tmp 保持不变，e 加上 test；否则，用缩小后的值替换 tmp，e 不变。每次迭代后 test 减半，重复直到 test 为 0。最后，根据 is_exp_0_or_1 和 is_exp_0 的结果处理指数为 0、1 或 2 的边界情况，返回指数值加上已累加的偏移量。这一算法在每次迭代中执行一次乘法、一个条件选择和若干算术操作，整体复杂度为 O (log E)，其中 E 为指数范围（约 2048），实际需要约 11 次迭代。
无比较的 Floor 操作与位拆分
提取尾数需要一种无需比较运算的 floor 实现。IEEE-754 的一个巧妙特性是：在范围 [2^52, 2^53) 内，相邻可表示值的间隔正好是 1.0。因此，对于任何满足 v < 2^53 的正数 v，表达式 v + 2^52 - 2^52 会执行最近舍入到整数。如果 v 本身就是整数，舍入结果等于 v；如果 v 是小数，则会四舍五入到最近的整数。关键在于如何判断舍入是向上还是向下。通过比较原始值 v 与舍入结果 r，如果 v < r，则说明发生了向上舍入，需要返回 r - 1；否则返回 r。这一判断利用前面构建的 is_less_than 函数完成。整个 floor 操作只需要两次加法、一次减法和若干条件选择，输出为不大于输入的最大整数。
有了 floor 函数，就可以将尾数拆分为高 32 位和低 32 位。设 fraction 为提取出的 52 位尾数（已缩放到整数范围），则 high_fraction = floor (fraction × 2^(-32))，low_part = fraction - high_fraction × 2^32。最终的高 32 位结果由符号位、指数位和 high_fraction 拼接而成：high = sign × 2^31 + exponent × 2^20 + high_fraction。低 32 位即为 low_part。这一过程完全使用乘法、常数缩放和加减法实现，没有任何位操作或分支跳转。
工程局限性与适用场景
这一技术的实现虽然优雅，但存在明确的工程限制。首先，它依赖于 IEEE-754 标准舍入模式，在使用 /fp:fast 或着色器编译器默认优化选项的环境中将失效，因为这些配置可能违反舍入到最近偶数的保证。其次，NaN、Infinity 和 -Infinity 无法被正确转换，因为这些特殊值的位模式无法通过有限精度算术区分表达。第三，负零被当作正零处理，因为加法和乘法无法区分这两个值。第四，整个转换过程需要约 5000 条原始操作（优化后可降至约 368 条），在性能敏感场景中可能不可接受。
尽管如此，这一技术在多个工程场景中具有实际价值。在受限的解释语言（如某些领域专用语言或教育环境）中，它提供了唯一的位级操作途径。在 C++ constexpr 上下文中，它实现了编译期的浮点位提取，无需运行时代码生成。对于嵌入式系统开发者，当标准类型强转因严格别名规则而未定义时，这种纯算术方法提供了可移植的替代方案。此外，这一探索揭示了浮点运算的表达能力边界，为理解编译器优化和硬件行为提供了有价值的视角。
资料来源
本文核心内容基于 dougallj 于 2020 年发表的技术博文，详细实现了仅用乘加指令完成 double 位转换的完整算法，并提供了优化的 JavaScript 实现版本供实际使用。