在某些受限编程环境中，你可能只持有 IEEE 754 双精度浮点类型，却无法访问其底层位表示 —— 既无 C++ 的位操作类型转换，也无 JavaScript 的 DataView 工具。此时若需将双精度数转换为其 64 位二进制表示（两个 32 位无符号整数），或者逆向还原，传统位操作思路便无从下手。问题的核心挑战在于：能否仅凭浮点乘法和加法，完成这一看似需要位级控制的任务？本文将从算术化逻辑重构、指数提取策略、尾数位截取三个层面，深入剖析这一低层数值工程的实现路径与工程边界。
IEEE 754 双精度格式与数值语义
IEEE 754 双精度浮点数占用 64 比特，其位域划分遵循固定模式：最高位为符号位 s（0 表正、1 表负），紧随其后的 11 位为指数域 e（偏置值为 1023），最低的 52 位为尾数域 f。当指数域取值 1 至 2046 时，数值 v 的语义为 v = s × (1 + f × 2⁻⁵²) × 2^(e−1023)，其中隐含前导 1 使得有效数字范围落在 [1, 2) 区间。指数域为 0 时表示次正规数，数值计算调整为 v = s × (0 + f × 2⁻⁵²) × 2⁻¹⁰²²，隐含前导 0 且无次正规保护机制会产生渐进下溢。指数域为 2047 则标记特殊值：尾数全零为无穷大，非零尾数为 NaN。理解这一位域划分是后续所有算术化绕过策略的基础，因为我们将通过乘加操作间接提取或重构这些域值。
纯浮点算术重构逻辑运算
在仅有乘法 a × b 与加法 a + b 可用的环境下，构建布尔逻辑需要巧妙的数值映射。设定真值为 1.0、假值为 0.0，则逻辑与可自然表示为 a × b，因为 1×1=1 而含 0 时乘积必为 0。逻辑非则通过 1 − a 实现：真值 1 映射为 0，假值 0 映射为 1。逻辑或 a ∨ b 可由 a + b − a × b 导出，该式在双真时输出 1×1 + 1×1 − 1×1 = 1，一真一假时为 1 + 0 − 0 = 1，双假时为 0 + 0 − 0 = 0。最关键的条件选择函数 select (condition, if_true, if_false) = condition × if_true + (1 − condition) × if_false 实现了类似三目运算符的功能，代价是必须严格规避 Infinity × 0 或 NaN 的传播 —— 任何中间结果若触发这些特殊算式，整个表达式将不可逆地退化为 NaN。
工程实现中还需注意减法的处理。传统减法 a − b 可替换为 a + (b × −1)，而 −1 作为常量可直接编码为浮点表示的负双精度数。真正的工程难点在于如何保证所有中间结果始终落在有限值域内：乘以模长 ≤1 的因子不会放大数值量级，而加法常量需严格限制在 ±2⁹⁶⁹ 范围内才能确保不向无穷舍入 —— 这些约束在代码生成时必须逐一回溯验证。
指数位提取：二分搜索策略
获取双精度数的指数位需要判断其编码指数 e ∈ [1, 2046] 落在哪个十位区间。核心思路是利用乘以 2⁻ᵏ 会导致指数减 k（若不触发下溢到次正规或上溢到无穷）的特性，通过二分测试缩小搜索区间。具体而言，定义函数 is_exp_0_or_1 (x) 判断数值 x 的编码指数是否 ≤1，即 x 是否落在 [−2⁻¹⁰²¹, 2⁻¹⁰²¹) 区间；该判定通过 x + 2⁻¹⁰⁷⁴ − x 的舍入行为实现 —— 若指数 ≥2，则 2⁻¹⁰⁷⁴（最小正双精度数）相对于 x 的量级过小，舍入后结果为 0；若指数为 0 或 1，则 2⁻¹⁰⁷⁴ 与 x 同量级或更小，精确保留或产生倍增效果。将此结果规范化至 {−1, 0, 1} 后平方再取非，即得布尔判定的 0/1 输出。
提取指数的算法从测试值 1024 开始迭代：若 v × 2⁻¹⁰²⁴ 仍满足 is_exp_0_or_1，则原指数 <1026，保持 v 不变且不累加偏移；否则 v 被更新为 v × 2⁻¹⁰²⁴（指数减 1024），同时 e 增加 1024。每次迭代将测试区间减半，最终在指数 ∈ {0, 1, 2} 时结束。此时根据 is_exp_0 (v) 与 is_exp_0_or_1 (v) 的组合输出最终编码指数：若指数为 0 返回 0，若为 1 返回 1，否则返回 e + 2（二分过程已累加的偏移量加上基准值 2）。
该算法在每次迭代中执行常数次乘加操作，全程无分支、无位运算，仅依赖 IEEE 754 的舍入行为作为隐式比较器。工程实现时需注意：循环必须完全展开或内联，因分支预测在此上下文中代价高于直接计算；且所有 p2 (k) 常量（2 的 k 次方）应在编译期查表内联，避免运行时指数运算引入额外误差。
尾数位提取与取整技巧
获取尾数域的挑战在于：即便已知指数，仍需从 (1 + f × 2⁻⁵²) × 2^(e−1023) 形式中剥离隐含前导 1 并还原 f。首先利用 make_exp_0_or_1 (v) 将 v 的指数压缩至 ≤1，同时保留符号与尾数位 —— 该函数与指数提取类似，但最终会将指数 2 的情况额外乘以 2⁻¹ 确保指数 ≤1。此时若原数为负，尾数取反可通过乘以 −1 实现；若原数为次正规（指数 = 0），则无需减去隐含前导 1；若为正规数，则减去 2⁻¹⁰²² 将隐含 1 归零。最后将结果乘以 2¹⁰⁷⁴（通过两次乘以 2⁵³⁷ 避免中间溢出）将尾数域放大至整数区间，得到范围在 [0, 2⁵²) 的整数 f。
对于任意整数的向下取整，IEEE 754 提供了一个精妙的零开销技巧：在区间 [2⁵², 2⁵³) 内，浮点的最小间隔（ULP）恰好为 1.0。因此对任意 x ∈ [2⁵², 2⁵³)，执行 round (x) = x + 2⁵² − 2⁵² 即实现最近的整数舍入（向偶数取整）。若需严格向下取整，只需比较原值与舍入值：当 x < round (x) 时，说明发生了向上舍入，返回 round (x) − 1；否则直接返回 round (x)。该技巧可在不引入任何比较指令的情况下，通过两次浮点运算完成整数截断。
将上述技术组合后，双精度数到两个 32 位无符号整数的转换流程为：首先提取符号位（is_less_than_zero (v)）、编码指数（get_encoded_exponent (v)）、尾数（get_fraction (v)）。尾数乘以 2⁻³² 后向下取整得到高 32 位的尾数部分，高位整体由 sign × 2³¹ + exponent × 2²⁰ + high_fraction 构成，低位则为 fraction − high_fraction × 2³²。所有位域拆分均通过 floor (x × 2⁻ᵏ) 与 x − floor (x) × 2ᵏ 的乘加组合实现，彻底绕开了显式位掩码与移位操作。
工程边界与局限性
必须清醒认识到纯浮点方案的严格限制。首先，NaN、Infinity、−Infinity 在乘加运算下不可区分且无法生成：任何与 NaN 的算术结果必为 NaN，而 Infinity × 0 = NaN 的特性使得这些特殊值在转换过程中会丢失编码信息。其次，负零 (−0.0) 与正零 (+0.0) 在纯乘加下完全等价，无法通过算术行为区分，因此所有 −0 输入都将被映射为 0。再次，该方案完全依赖 IEEE 754 标准行为，尤其依赖 round-to-nearest-ties-to-even 的默认舍入模式；若编译器启用 /fp:fast 或类似激进优化选项，或在着色器编译环境中，算术行为可能偏离标准导致结果错误。最后，即便对于可处理的有限非零值，优化后的完整实现仍需约 5000 次乘加操作，而经过手工精简的 JavaScript 版本约 368 次操作 —— 这一开销在高性能场景下通常不可接受，更适合作为教学演示或极端受限环境（如某些 constexpr 上下文）的技术验证。
若工程中确需此功能，建议的实践路径是：首先评估环境是否真正禁止所有位操作，许多看似受限的解释型语言实则提供数值到位数组的原生转换 API；其次若确需纯浮点实现，应将核心算法封装为编译期常量函数，确保所有常量在展开后内联；最后务必在持续集成中加入已知边界值测试集（如 1.0、−1.0、最小正规数 2⁻¹⁰²²、最大正规数 (2−2⁻⁵²)×2¹⁰²³、随机位模式等），验证 IEEE 754 模式切换时的正确性。
参考资料：dougallj, "Bitwise conversion of doubles using only floating-point multiplication and addition", 2020 年 5 月，https://dougallj.wordpress.com/2020/05/10/bitwise-conversion-of-doubles-using-only-floating-point-multiplication-and-addition/