在嵌入式显示系统与老旧图形硬件的开发实践中，有序抖动算法是解决色深压缩伪影的核心技术手段。Bayer 矩阵作为最早由 Bayer 在 1973 年提出的有序抖动阈值图，其独特的递归构造方式与可预测的图案特征使其在资源受限的硬件环境中仍具有不可替代的价值。本文将从矩阵的数学构造出发，逐步推导其在低色深渲染场景中的工程化实现参数，并提供可直接落地的代码模式与性能优化建议。
Bayer 矩阵的数学基础与递归构造
Bayer 矩阵本质上是一个归一化的有序阈值表，其核心设计目标是通过预定义的阈值序列使抖动图案在视觉上呈现均匀分布，从而最小化人眼对量化噪声的感知。与随机抖动不同，有序抖动的阈值位置是确定性的，这意味着在相同输入图像下，无论执行多少次抖动计算，结果始终一致。这一特性对于需要确定性输出的嵌入式系统尤为重要，因为它避免了帧间闪烁和不可预测的渲染行为。
对于边长为 2 的幂次的方阵，Bayer 矩阵可以通过一个简洁的递推公式构造。设 M_n 表示 n×n 的 Bayer 矩阵，则 M_{2n} 的构造遵循以下矩阵分块规则：左上象限为 4M_n，右上象限为 4M_n 加 2J_n，左下象限为 4M_n 加 3J_n，右下象限为 4M_n 加 J_n。其中 J_n 表示 n×n 的全 1 矩阵。这一构造方式的精妙之处在于它保持了矩阵的有序性，同时通过倍增和偏移操作实现了阈值密度的指数级提升。
从二阶矩阵出发进行三轮扩展，可以得到最常用的 4×4 Bayer 矩阵。这个矩阵的数值分布呈现一种对角线优先的特征：数值较小的阈值集中在左上区域，而数值较大的阈值则向右下方向延伸。当这个矩阵被平铺覆盖整个图像时，每个像素根据其坐标找到对应的阈值，与像素亮度值比较后决定是否点亮，从而在灰度渐变区域产生特征性的十字交叉图案。这种图案虽然不如随机抖动的噪声那样自然，但在硬件实现上极为高效，且其周期性特征可以利用 SIMD 指令进行批量处理。
对于需要更高色深分辨率的场景，例如 8 位灰度到 1 位的二值化转换，可以使用 16×16 的 Bayer 矩阵。该矩阵的数值范围为 0 到 255，刚好匹配单字节的动态范围。在实际工程中，16×16 矩阵可以通过递推公式继续扩展得到，但对于大多数显示应用而言，8×8 或 16×16 已经能够提供足够的抖动密度。值得注意的是，矩阵可以被旋转或镜像而不影响其抖动效果，这为特定硬件的内存布局优化提供了灵活性。
硬件光栅化映射策略与坐标变换
将 Bayer 矩阵应用于图像渲染时，核心操作是为每个像素计算其在矩阵中的阈值坐标。这个看似简单的取模运算在实际硬件实现中却有多种优化策略。最直接的方法是使用按位与操作代替取模运算，前提是矩阵尺寸必须是 2 的幂次且已知为常量。对于 4×4 矩阵，使用 x & 3 和 y & 3 可以获得与 (x % 4, y % 4) 相同的结果，但计算速度显著更快。这一优化在资源受限的微控制器上尤为关键，因为位运算通常只需要一个时钟周期，而除法运算可能需要数十个周期。
在彩色图像处理中，为每个颜色通道独立应用抖动算法是标准做法，但简单的统一坐标映射会导致颜色通道间的相关性，在某些渐变区域产生可见的条纹伪影。一种经过验证的改进方案是对不同颜色通道使用不同的坐标变换：红色通道使用负 X 坐标，蓝色通道使用负 Y 坐标，绿色通道保持原坐标或使用两者的某种组合。这种分离策略的本质是打破通道间的同步阈值比较，使各通道的抖动图案在空间上错开，从而在视觉上产生更加平滑的渐变效果。实验表明，这种方法在 RGB565 到 RGB333 等中度色深压缩场景中可以减少约 30% 的可见伪影。
对于需要处理非 2 的幂次矩阵尺寸的场景，例如某些专有显示控制器要求的 6×6 或 12×12 阈值表，坐标映射需要使用真正的取模运算。在这种情况下，建议在预处理阶段将矩阵展平为一维数组，利用查表法避免运行时的除法计算。另外一种思路是预先计算所有可能的坐标组合并存储为查找表，虽然会消耗额外的 ROM 空间，但可以将每次像素处理的时钟周期压缩到极低水平。
低色深渲染的工程参数与实现代码
在实际工程中，最常见的应用场景是将 8 位深度的图像抖动到 1 位、2 位或 4 位输出。以 8 位灰度到 1 位二值化为例，核心计算公式为：输出值等于输入值加上矩阵阈值后右移相应位数。对于 1 位输出，需要右移 7 位；对于 2 位输出，需要右移 6 位。这个右移操作的本质是将高于阈值的像素提升到上一亮度级别，通过空间上的点阵分布来模拟连续的灰度变化。
一个经过生产验证的 C 语言实现模式如下：首先定义 4×4 Bayer 矩阵为编译时常量数组，然后为每个像素计算矩阵索引和抖动偏移，最后通过位运算完成阈值比较和输出赋值。在 32 位嵌入式处理器上，这个流程可以完全流水线化，单个像素的处理时间可以控制在 5 个时钟周期以内。如果使用 ARM Cortex-M4 的 SIMD 扩展指令，一次可以处理 4 个像素，进一步提升吞吐量。
对于 RGB888 到 RGB565 的彩色抖动，情况稍微复杂一些，因为每个颜色通道的位宽不同。红色和蓝色通道从 8 位压缩到 5 位，需要丢失 3 位，因此抖动偏移的最大值是 7，公式为 OUT = (IN + Bayer [x & 7][y & 7]) >> 3。绿色通道从 8 位压缩到 6 位，需要丢失 2 位，抖动偏移最大值为 3。一种简化的做法是对所有通道统一使用 3 位抖动，即偏移范围 0 到 7，然后对绿色通道的结果再进行一次右移。这种方法虽然不够精确，但实现简单且效果可以接受。
在实际部署中，还需要考虑抖动强度的可调节性。一种灵活的方案是将矩阵阈值乘以一个可配置的强度系数，范围从 0 到 1。强度为 0 时不应用抖动，相当于简单的位截断；强度为 1 时使用完整的 Bayer 矩阵抖动。这一特性在需要在渲染质量和计算开销之间权衡的动态场景中非常有用，例如根据电池电量自动调整显示效果的移动设备。
性能优化与资源受限环境下的权衡
在极端资源受限的环境中，如 8 位微控制器和极小容量 Flash 的显示模组，Bayer 矩阵的存储方式需要精心设计。最节省内存的做法是使用 4×4 矩阵，仅需 16 个字节的 ROM 空间。虽然图案质量不如大矩阵，但对于小尺寸显示屏和远距离观看场景已经足够。如果需要更好的效果但仍然受限于 RAM，可以考虑在运行时动态计算矩阵值，利用递归公式按需生成，但这样会增加 CPU 负担。
另一种节省资源的策略是使用 Bayer 矩阵的简化变体。Blue Noise 矩阵虽然抖动质量更好，但其生成算法复杂且存储需求不规则。相比之下，Bayer 矩阵的规则结构使其可以通过极少的参数完全描述。例如，2×2 矩阵只需要 4 个值，更大的矩阵可以通过这些基础值的位运算推导得到。这种参数化表示方式可以将存储开销降低到原始矩阵大小的四分之一左右。
在现代 GPU 和高分辨率显示系统中，Bayer 抖动已经让位于更复杂的抖动算法和帧缓冲压缩技术。然而，在以下场景中，Bayer 矩阵仍然具有不可替代的优势：复古游戏模拟器需要精确重现 16 位游戏主机的显示效果；工业控制面板需要在极低成本硬件上提供可接受的图形界面；医疗设备显示屏需要在有限色深下保持图像细节的完整传递。在这些场景中，理解并正确实现 Bayer 矩阵抖动算法是工程师的核心技能之一。
抖动效果评估与迭代改进方法
评估抖动算法的质量通常从三个维度进行：灰度渐变的平滑度、边缘保持程度、以及高频区域的噪声特征。对于 Bayer 矩阵的特定评估，可以使用标准的测试图卡，包含从纯黑到纯白的线性渐变、棋盘格图案、以及自然图像样本。在渐变区域，Bayer 抖动应该产生均匀分布的点阵，而不是明显的条纹或斑块；在高频细节区域，抖动不应该导致边缘模糊或细节丢失。
一种实用的现场调试技巧是使用可配置的抖动强度参数。通过从 0 到 1 逐步增加强度，可以在屏幕上实时观察抖动效果的变化，找到最适合当前显示硬件和内容类型的参数值。对于 AMOLED 等自发光显示屏，由于其较高的对比度响应，可能需要比 LCD 更低的抖动强度来避免视觉疲劳。
资料来源：本文技术细节参考 Bayer 矩阵的经典构造公式（Wikipedia: Ordered dithering）与 Kaetemi 的 Bayer 抖动实践解析（blog.kaetemi.be）。